FUNDAMENTE ALE LOGICII ŞI MATEMATICII
Cătălina Daniela Răducu
Introducere. Rădăcini
filosofice relevante
Matematica
şi logica, cele mai vechi dintre ştiinţe, creaţii ale
gândirii elene, s-au dezvoltat timp de aproape două milenii în chip
independent, chiar dacă matematica a constituit un subiect de particular
interes pentru filosofi, oferind logicienilor mostre de inferenţe
riguroase şi modelul unei ştiinţe demonstrative. „Vine
însă, în orice domeniu, momentul în care trebuie să se acţioneze
rigorile intransigenţei”[i].
Citatul din Russell este relavant pentru a caracteriza scena gândirii
ştiinţifice de la sfârşitul secolului al-XIX-lea şi
începutul secolului al-XX-lea, în care se pun pentru prima dată în
matematică problemele generale despre continuul matematic şi numerele
infinite. Va fi matematicianul german Georg Cantor cel care, dezvoltând teoria
mulţimilor, va oferi gânditorilor contemporani lui o veritabilă
provocare. Apariţia paradoxurilor în cadrul acestei teorii, şi, mai
general, în cadrul matematicii, ştiinţă considerată a fi,
până în acel moment paradigmatică prin rigoarea sa, a suscitat un
efort apreciabil din partea filosofilor vremii. Aceste eforturi marchează
începutul unei noi ere pentru matematică: aceea a cercetării
fundamentelor ei: „Când se constată că o clădire, altfel
bună, nu are o temelie destul de solidă nu înseamnă că ea
trebuie abandonată. Există mijloace de a-i întări temelia”,
remarcă ilustrul matematician A. Hollinger.[ii]
Noua eră va fi pentru matematică una în care se va reevalua raportul
ei cu logica: aceasta din urmă va oferi mijloacele pentru reevaluarea
fundamentelor matematicii.
Intenţia
acestei lucrări este de a discuta cum anume s-a transpus în fapt acest
remarcabil efort de fundamentare a matematicilor prin contribuţiile celor
trei mari curente: logicismul, formalismul, intuiţionismul.
Vorbind
despre fundamentele matematicii, discursul trebuie să ne poarte, în primul
rând, asupra caracterului acestei ştiinţe şi al enunţurilor
cu care aceasta operează. Două nume sonore trebuie invocate aici;
este vorba despre Leibniz şi Kant.
Autor al unui fascinant sistem metafizic de o
deosebită profunzime, apreciat într-o măsură extrem de mare de
Russell, Leibniz a fost şi un matematician şi un logician de geniu.
Poziţia radicală leibiziană, în logică, aceea că
predicatul este „conţinut în subiect” este întărită de celebra
sa doctrină metafizică conform căreia lumea constă în
substanţe-subiect autoconsistente (sau monade) ce nu interacţionează.
Acceptând
forma logică subiect-predicat (în sensul de predicatul este o proprietate
a subiectului) a tuturor propoziţiilor, nu numai că anticipează
logicismul, dar aduce logica şi matematica, discipline până la el
separate, împreună, printr-o dublă inovaţie: pe de o parte, prin
teza sa filosofică despre „verités de raison” şi „verités de fait”,
ce arată caracterul mutual exclusiv al acestora, iar pe de altă
parte, introduce ideea metodologică de a utiliza calculul mecanic în
ajutorul raţionamentului deductiv, nu doar în cadrul disciplinelor
relaţionate în mod tradiţional cu matematica, dar de asemenea şi
dincolo de acestea, introducând, în mod particular, calculul în logică.
Referitor la
distincţia dintre adevăruri de raţiune şi adevăruri de
fapt, dublată desigur de distincţia dintre propoziţii necesare
şi propoziţii contingente, Leibniz atribuie propoziţiile
necesare matematicii pure, iar cele contingente matematicii aplicate.
Propoziţiile matematicii sunt asemeni propoziţiilor logicii, în
sensul că nu sunt adevărate deoarece se referă la
entităţi sau obiecte eterne, sau la obiecte ideale ce ar rezulta prin
abstractizare. Ele sunt adevărate prin faptul că negarea lor ar fi
logic imposibilă. Ceea ce este important de subliniat, pentru a continua
expunerea noastră, este că, pe lângă faptul că aduce matematica
şi logica împreună, visând la un simbolism ce ne-ar face capabili
să lucrăm cu deducţii foarte complicate, (ideal pe care Russell
şi Whitehead l-au avut, mai apoi) Leibniz divide toate propoziţiile
în două clase ce exclud reciproc, propoziţii analitice şi
propoziţii factuale, considerând propoziţiile matematicii a fi
analitice: „Referitor la propoziţiile analitice, Leibniz susţine
că toate propoziţiile logicii, aritmeticii şi geometriei sunt de
acest fel.”[iii]
Va fi Kant
al doilea nume pe care trebuie să-l menţionăm în deschiderea
acestei discuţii, în măsura în care aceste îşi va concepe
filosofia matematicii ca o reacţie la cea a lui Leibniz, dar şi în
măsura în care va influenţa în mod deosebit curentele formalist
şi intuiţionist, în filosofia matematicii a secolului al-XX-lea. El
va introduce, pe lângă propoziţiile analitice şi cele sintetice,
o nouă categorie: aceea a propoziţiilor sintetice a priori. Acestea,
în opinia sa, sunt de natură intuitivă, şi existenţa lor
este demonstrată în legătură cu categoriile transcendentale ale
spaţiului şi timpului, deoarece: descriind spaţiul şi
timpul, descriem de fapt particularii, ceea ce înseamnă că facem
judecăţi sintetice; descriind însă spaţiul şi timpul,
noi nu descriem impresii ale simţurilor, ci cadre permanente şi
neschimbătoare ale acestora, ceea ce conduce la faptul că descrierile
noastre sunt independente de impresiile simţurilor, deci sunt a priori.
Kant nu este de acord cu opinia lui Leibniz conform căreia matematica pură
ar utiliza numai propoziţii analitice: „Pentru el, matematica pură nu
este analitică; ea este sintetică a priori, pentru că se
referă la (descrie) spaţiul şi timpul.”[iv]
Concepţia sa despre
felul propoziţiilor matematicii este de maximă importanţă,
întrucât va fi extrem de influentă în cadrul discuţiilor despre
fundamentele matematicii din secolul al-XX-lea. De asemenea, concepţia sa
despre infinit în matematică, şi distincţia între infinitul
potenţial şi cel actual sau complet vor influenţa în mod
deosebit aceste discuţii, în măsura în care vor fi asumate de
către curentul intuiţionist.
Problema de deschidere: antinomiile
matematice.
Paradoxul lui Cantor
Prima
antinomie cunoscută se datorează italianului Cesare Burali-Forti
care, în 1897, a publicat-o într-un articol devenit celebru, Una questione sui numeri transfiniti, în
revista Rendiconti del Circolo matematico
di Palermo.
El a expus această antinomie în logica
simbolică aşa cum era ea constituită de Peano şi de
şcoala italiană, dar poate fi exprimată, în cea mai simplă
formă a sa, în felul următor: a) orice serie de numere ordinale
defineşte un număr ordinal; b) acest număr ordinal este mai mare
cu o unitate decât cel mai mare număr ordinal al seriei date; c) seria
ordinalelor (în ordinea mărimii lor) este bine ordonată.
Să considerăm acum seria tuturor numerelor
ordinale; această serie defineşte un număr ordinal Ω, care
este cel mai mare dintre toate numerele. În acest caz, seria tuturor numerelor
ordinale conţine cel mai mare număr ordinal Ω, şi deci
numărul ordinal al acestei serii nu este Ω, ci Ω+1, conform
celor arătate mai sus.
Contradicţia este
izbitoare: dacă Ω este numărul ordinal definit de seria tuturor
ordinalelor, atunci nu Ω este numărul ordinal definit de seria
tuturor ordinalelor, ci Ω+1. Deci cel mai mare număr ordinal nu este
cel mai mare.
O
contradicţie asemănătoare a fost descoperită de
matematicianul german Georg Cantor în teoria mulţimilor.
În teoria
mulţimilor, fiecărei mulţimi finite i se atribuie un număr,
prin care se poate răspunde la întrebarea câte elemente are mulţimea
respectivă. Datorită relaţiei de echivalenţă, se poate
proceda astfel şi în cazul mulţimilor infinite. Acest număr se
numeşte cardinalul sau puterea
acelei mulţimi.
Atunci când
se procedează la compararea diverselor mulţimi, se stabileşte,
de fapt, o relaţie de ordine între cardinalele lor. În cazul
mulţimilor finite, compararea este facilă: cardinalele lor se
ordonează în funcţie de câte elemente au mulţimile respective: o
multime cu mai multe elemente va avea un cardinal mai mare, în comparaţie
cu altă mulţime, ce conţine un număr mai mic de elemente.
Dacă
avem de a face, însă, cu mulţimi infinite, situaţia se
complică, deoarece în cazul mulţimilor infinite, există
mulţimi numărabile (cum este cazul mulţimii numerelor naturale,
al cărei cardinal va fi mai mare decât orice număr natural, şi
se va nota cu a), şi
mulţimi nenumărabile, cum este cazul mulţimii numerelor reale.
Cantor demonstrează cu ajutorul procedeului diagonal că mulţimea
numerelor reale este nenumărabilă: luând un interval oarecare din
mulţimea numerelor reale (de exemplu, intervalul deschis de la 0 la 1)
şi exprimând zecimal toate numerele din acest interval, se
demonstrează că se pot imagina la infinit numere reale cuprinse în
acest interval care să depăşească orice posibilă
corespondenţă 1 la 1 între membrii intervalului şi o
mulţime numărabilă finită.
Cardinalul
mulţimii numerelor reale va fi notat cu c, şi va fi, la rândul lui, asemeni lui a, mai mare decât orice număr real. Cardinalele a şi c nu caracterizează doar mulţimile menţionate, ci,
în genere, mulţimile numărabile infinite, respectiv mulţimile
nenumărabile infinite, despre acestea din urmă spunându-se că au
puterea continuului.
Aşadar,
dacă ar fi să facem o listă a cardinalelor cunoscute, aceasta va
fi următoarea: întâi vin toate numerele naturale, la care se adaugă
şi cardinalul mulţimii vide, 0, şi, deşi lista acestora nu
se termină niciodată, dincolo
de ele mai există cardinalul a,
care este mai mare decât toate cardinalele finite, şi cardinalul c, care este mai mare decât a. Acestea sunt cardinalele transfinite.
În
afară de a şi c, se poate demonstra că mai
există o infinitate de cardinale transfinite, caracterizând mulţimile
ce se pot forma atunci când se iau în calcul părţile lor. De ecemplu,
în cazul mulţimii numerelor naturale, mulţimea părţilor ei
va fi formată din: mulţimea vidă, apoi mulţimile cu un
element, apoi mulţimile cu două elemente, şi aşa mai
departe, ceea ce a condus, în teoria mulţimilor, la teorema:
Mulţimea părţilor
unei mulţimi are un cardinal mai mare decât mulţimea
însăşi.
Atunci când
s-a pus problema dacă există un cardinal mai mare decât toate
celelalte, teoria mulţimilor s-a găsit într-o situaţie
dificilă: la prima vedere, ar părea posibil, acesta fiind cardinalul
mulţimii tuturor mulţimilor.
Aici apare
paradoxul, deoarece, conform teoremei enunţate anterior, dacă
mulţimea tuturor mulţimilor ar avea cel mai mare cardinal,
mulţimea părţilor ei ar avea un cardinal mai mare decât ea. Prin
urmare, cel mai mare număr cardinal nu este cel mai mare.
Problema
antinomiilor matematice este una de maximă importanţă, atât
pentru logică, ce oferea aparatul simbolic pentru a le exprima pe acestea,
cât şi pentru matematică, în corpul căreia aceste antinomii au
apărut. Ele constituie unul dintre obstacolele cele mai mari în
constituirea logicii ca ştiinţă matematică, dar şi în
fundamentarea logică a matematicii. Importanţa maximă a acestor
antinomii provine din aceea că ele pun sub semnul întrebării
noţiuni fundamentale atât în logică, cât şi în matematică:
noţiunile de mulţime, clasă, număr ordinal, număr
cardinal, etc.
Paradoxuri
de acest tip, apărând în chiar corpul gândirii matematice, au încetat a fi
un simplu joc al gândirii, punând serioase probleme din punct de vedere al
fundamentelor acestei discipline: „ Rând pe rând, paradoxurile lui
Burali-Forti, Cantor, Russell, Richard ş. a., au spulberat ideea despre
caracterul «ideal» al construcţiilor matematice, impunând şi aici, ca
pretutindeni, principiul relativităţii cunoaşterii.”[v]
De aceea,
descoperirea antinomiilor constituie un pericol nu numai pentru
matematică, ci şi pentru întregul sistem al ştiinţelor
deductive. Prin urmare, soluţionarea acestora a devenit, la sfârşitul
secolului al-XIX-lea şi începutul secolului al-XX-lea, una dintre cele mai
importante sarcini atât a matematicienilor, cât şi a logicienilor.
Încă de
la Aristotel, logica a avut ca subiect modele formale de inferenţă; Organon-ul lui Aristotel a fost creat cu
intenţia de a fi, nici mai mult, nici mai puţin, decât un canon, sau
un instrument ce ar da legile unei inferenţe corecte. De abia de la
mijlocul secolului al XIX-lea, însă, logica a început să fie
privită ca o disciplină ce ar putea fi dzvoltată matematic,
alături de alte ramuri ale matematicii. George Boole, Augustus DeMorgan,
Ernst Schroder sau Charles Sanders Peirce sunt câteva nume sonore ce au
descoperit posibilitatea de a dezvolta ceea ce se va numi o „algebră a
logicii”, o modalitate matematică de a modela legile abstracte ce
guvernează inferenţa formală.
Această
intenţie a fost concretizată cu succes de George Boole în lucrarea The Mathematical Analysis of Logic, în
1847, prima aplicare sistematică a metodelor algebrei la logică.
Acestei reuşite i se adaugă, şapte ani mai târziu, publicarea
unei alte opere, An Investigation of the
Laws of Thoughs, în care Boole dezvoltă analogia formală între
operaţiile logicii şi matematicii, arătând cum formule algebrice
pot fi folosite pentru a exprima şi manipula relaţii logice.
Încercării
lui Boole de a matematiza logica, i se adaugă, în aceeaşi
perioadă, aceea de a logiciza matematica. Ideea reducerii matematicii la
logică, preluată de la Leibniz, consta în esenţă din
două obiective: mai întâi, se propunea definirea conceptelor matematicii
în termeni de concepte pur logice, şi în al doilea rând, se propunea
deducerea teoremelor matematice din axiome pur logice.
Deloc
accidental, încercarea de a logiciza matematica a coincis cu un proces
revoluţionar ce dorea introducerea unei mai mari rigori în
matematică. Dezvoltarea geometriilor neeuclidiene, legată de numele
sonore ale lui Lobachevski, Bolyai, Riemann a condus la centrarea atenţiei
pe metoda axiomatică şi pe cercetarea fundamentelor în general.
Bolzano, Weierstrass, Dedekind şi Cantor au dezvoltat independent metode
de a fundamenta numerele iraţionale în termeni de numere raţionale,
şi bazându-se pe rezultatele acestora, Giuseppe Peano a fost capabil
să dezvolte sistematic, nu doar o teorie a aritmeticii şi a numerelor
raţionale, dar o şi o teorie detaliată a limitelor reale.
Rezultatele acestuia, expuse în lucrarea din 1889, intitulată Arithmetics Principia, arătau cum,
pornind de la câteva noţiuni primitive, era în principiu posibil să
se derive întreaga matematică într-o manieră riguroasă şi
coerentă.
Este matematica pură
reductibilă la logică?
Logicismul
Cruciale în
acest proces au fost introducerea cuantificatorilor şi dezvoltarea
calculului cu predicate, pe care le datorăm, fără îndoială,
lui Gottlob Frege. Reluând un ideal mai vechi, acela al lui Leibniz, Frege a dorit
nu atât să reprezinte logica abstractă în formule, cât să
reprezinte conţinuturi prin semne scrise, într-o manieră mai
precisă şi mai clară decât e posibil prin limbajul natural.
Recunoaştem aici acea „lingua characteristica” la care aspira Leibniz. Rezultatul
a fost introducerea unui limbaj simbolic foarte general, potrivit pentru a exprima tipul de inferenţe
formale utilizat în matematică. Reluând, de asemenea, structura
propoziţională introdusă de Leibniz, în care predicatul este o
proprietate a subiectului, şi interpretând enunţurile în termeni de
funcţie-argument, Frege a reuşit să combine expresii
reprezentând individuali şi predicate (proprietăţi şi
relaţii) cu conectorii propoziţionali („şi”, „sau”,
negaţia), şi cu cuantificatori ( „toţi”, „unii”), într-un limbaj
destul de puternic pentru a exprima până şi cele mai complicate
enunţuri matematice.
În opera sa capitală, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache
des reinen Denkes (Scriere conceptuală; un limbaj formalizat al gândirii
pure, modelat după limba aritmeticii), Frege creează ceea se va
numi logica predicatelor: spre deosebire de logica propoziţiilor, a
cărei extindere este, logica predicatelor nu poate fi interpretată ca
algebră booleană. „Aici, Frege inovează la modul absolut,
importanţa teoriei sale fiind cu totul covârşitoare: logica
formală capătă astfel forţă de propulsie, devine
aptă să formalizeze structura mai fină a raţionamentelor în
care intervin propoziţii existenţiale şi generale, se
dovedeşte în măsură de a unifica înăuntrul unei singure
teorii, în lumina aceloraşi concepte fundamentale, analiza
propoziţiilor de predicaţie şi de relaţie.”[vi]
Pentru prima dată se putea aplica riguros logica la matematică,
pentru a studia fundamentele acesteia.
Lucrarea
ulterioară, din 1884, Die Grundlagen
der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung den Begriff der Zahl
(Fundamentele aritmeticii. O cercetare logico-matematică asupra
conceptului de număr), marchează un moment crucial în
fundamentele matematicii. Aici Frege dezvoltă programul său logicist
de fundare a aritmeticii. Dacă prima sa carte, Begriffsschrift, urmărea să
aplice noul calcul logic pentru a deduce teoreme matematice, în lucrarea din
1884, Frege pune însăşi problema naturii propoziţiilor aritmetice
şi a conceptului de număr.
Centrală
pentru această lucrare este critica pe care Frege o face lui Kant şi
concepţiei acestuia conform căreia legile aritmeticii ar fi
adevăruri sintetico-apriori, precum şi empirismului lui Mill. Asemeni
lui Russell, mai târziu, Frege respinge şi concepţia conform
căreia legile aritmeticii ar fi adevăruri inductive.
Frege reia
incercarea lui Lebniz de a demonstra propoziţiile aritmeticii pornind de
la definiţii, dar programul său este unul mai complex, mergând mult mai
departe în afirmarea caracterului analitic al propoziţiilor matematicii.
Propoziţiile aritmeticii sunt, în opinia lui Frege, analitice şi a
priori, ele au un caracter analitic întrucât sunt adevăruri logice:
„Tentativa de a relava adevărurile aritmeticii în calitate de
adevăruri logice are la Frege o bază incomparabil mai solidă
decât la Leibniz. Se afirmă nu numai că matematica este o
ştiinţă strict deductivă, ale cărei adevăruri
decurg în formă pură din definiţii admise iniţial, dar se
preconizează totodată să fie explicitată logica după
care se desfăşoară demonstraţiile, se cer a fi precizate
regulile de deducţie pe care le folosim.”[vii].
Al doilea
pas, la fel de important în întreprinderea lui Frege este acela de a arăta
că înseşi noţiunile aritmeticii sunt de fapt noţiuni
logice. Frege va stabili prin intermediul unei detaliate analize definiţia
logică a numărului şi sugerează modul în care
proprietăţile principale ale numerelor, relaţiile dintre ele,
legile operaţiilor cu numere naturale pot fi traduse prin intermediul unor
noţiuni pur logice.
Programul
logicist al lui Frege viza formalizarea integrală a logicii şi
aritmeticii şi prezentarea lor sub forma unui sistem deductiv formal,
axiomatizat. Frege consacră acestui scop opera sa capitală, Grundgesetze der Arithmetik,
Begriffsschiftlich abgeleitet (Legile
fundamentale ale aritmeticii), în care, pe baza a cinci axiome, a unor idei
logice primitive, a unor reguli de definiţie şi a unor reguli de
deducţie, Frege derivă principalele teoreme ale aritmeticii şi
defineşte noţiunile de bază ale aritmeticii drept
construcţii logice. Este interesant de notat faptul că succesul lui
Frege se leagă de numele acestei cărţi, însă într-un sens
negativ, deoarece eşecul întreprinderii sale, arătat de Russell,
după lectura acestei cărţi, în 1902, l-a adus în atenţia
publicului larg.
Asistând la
Congresul internaţional de filosofie de la Paris, din 1901, Russell a fost
impresionat de comunicarea prezentată de matematicianul italian Giuseppe
Peano; lectura lucrărilor lui Peano va fi continuată cu aceea a
lucrărilor lui Frege. Atras de programul logicist, Russell abordează
cu deosebită atenţie lucrările logicianului german, făcând,
în 1901, o descoperire catastrofală pentru Frege, descoperire ce
afectează nu numai sistemul formal fregeean, ci subminează
înseşi fundamentele evidente, incontestabile de până atunci, ale
logicii şi ale teoriei mulţimilor. Antinomia descoperită de
Russell în sistemul lui Frege îl va conduce pe acesta din urmă să-şi
abandoneze programul logicist, deschizând însă calea pentru Russell
şi Whitehead, care vor fi continuatorii săi.
Paradoxul lui Russell
Una dintre
ideile de bază ale logicismului lui Russell constă în aceea că
regulile pentru aritmetica numerelor naturale şi conceptele fundamentale utilizate
aici pot fi determinate pornind de la concepte din teoria mulţimilor
şi logica relaţiilor.
În cadrul
încercării sale de a oferi dovada derivabilităţii matematicii
din logică, Russell s-a confruntat cu probleme care l-au condus spre
dezvoltarea unei teorii, datorită căreia a devenit celebru; este
vorba despre faimoasa teorie a tipurilor.
Punctul de pornire în elaborarea ei a fost paradoxul
claselor. Russell s-a confruntat cu această problemă atunci când
a încercat să definească numerele naturale pornind de la conceptul de
clasă. Acest paradox este o formă specifică a paradoxului
general, impus încă din Antichitate, referitor la propoziţiile
şi expresiile auto-referenţiale.
Paradoxul lui Russell ia
naştere astfel: dacă ne referim la o clasă, o putem considera
atât din punct de vedere extensional, cât şi din punct de vedere
intensional. Vorbim despre o determinare extensională atunci când
înţelegem clasele drept colecţii de obiecte, pe care în principiu
le-am putea număra. Apoi, cu condiţia că am avea mijloacele de a
identifica obiectele respective, tot ceea ce ne rămâne este să
înţelegem noţiunea de conjuncţie logică. Problema nu este
atât de simplă cum apare la prima vedere, şi Russell a observat
dificultăţile cu care ne putem confrunta atunci când ne raportăm
la clase din punct de vedere extensional. În primul rând, dacă
propoziţiile matematice pot fi transformate în propoziţii despre
clase, putem întâlni clase care au un număr infinit de elemente. Însă
o conjuncţie infinită are o validitate dubitabilă, din punct de
vedere logic: dacă, de exemplu, această conjuncţie este
formată după o regulă, cum ar fi aceea a adunării, care
conduce la serii infinite de numere naturale, ar putea părea posibilă
enumerarea tuturor elementelor, însă, din punct de vedere practic, este
logic că nu ne putem permite să facem acest lucru. În al doilea rând,
există problema mulţimii vide, care este o clasă fără
nici un membru; întrebarea este dacă o putem privi pe aceasta drept o
colecţie. În cel din urmă rând, apare încă o dificultate, în
privinţa claselor cu un singur membru. Din raţiuni logice, trebuie
să distingem o clasă cu un singur element de unicul său element.
Generalizând, Russell consideră că este eronat să gândim
colecţiile de obiecte ca existând alături de elementele ce le compun,
iar exemplus său preferat este acela în care o pereche de
încălţări ar putea fi privită ca o colecţie de nu de
două, ci de trei elemente: pe lângă cele două
încălţări luate separate, ar apărea şi al treilea
element, perechea formată din cele două. Dacă ar fi legitim
să gândim astfel, s-ar putea ajunge la a vorbi cu sens despre totalitatea
lucrurilor existente ca despre o totalitate care nu este finită, şi
astfel ar apărea o contradicţie. Aceasta pentru că este
demonstrabil, din punct de vedere matematic că, dată o colecţie
de n elemente, putem sorta din această colecţie 2n
submulţimi. Cantor însă arătase că deşi numărul n
este infinit, 2n trebuie să fie întotdeauna mai mare decât n.
Dar aceasta înseamnă că dacă toate colecţiile de lucruri
posibile sunt considerate în totalitatea lucrurilor care există,
obţinem rezultatul contradictoriu în care numărul de lucruri care
există este mai mare decât totalitatea lucrurilor existente. Avem astfel,
după expresia lui Russell, „o dovadă aritmetică precisă
că există mai puţine
lucruri în cer şi pe pământ decât cele pe care le imaginăm în
filosofia noastră.”[viii]
În multe
cazuri, poate părea lipsit de importanţă dacă o clasă
este definită intensional sau extensional. În cazul unei determinări
extensionale, se poate, cel mult, spune că ar fi mai exactă, pentru
că este evident că nu poate apărea nici o îndoială
dacă o entitate este sau nu membră a clasei respective. În multe
contexte, însă, apare necesitatea de a numi sau a ne referi la clase care
nu pot fi determinate extensional. După cum s-a văzut, acest lucru
este valabil pentru clase care au un număr infinit de elemente, cum sunt
clasa numerelor prime sau clasa tuturor numerelor. În acest caz, Russell
operează prin determinarea intensională a claselor, adică privind
clasa drept o colecţie de obiecte care satisfac o anumită
funcţie propoziţională.
O clasă
determinată constă, în opinia lui Russell, din entităţi
care fac adevărată o anumită funcţie
propoziţională. Astfel, clasa oamenilor constă din
entităţi care fac adevărată funcţia
propoziţională „x este om”, clasa numerelor prime, din
entităţi care fac adevărată pe „x este număr prim”. În
acelaşi mod, se pot forma clase ale căror elemente să fie, la
rândul lor, clase, cum ar fi clasa claselor numărabile.
Dacă însă
nu sunt definite cadrele după
care se poate conduce o construcţie a unei clase din alte clase, atunci va
surveni ceea ce în literatura de specialitate a fost numit paradoxul claselor. Şi aceasta fiindcă se poate afirma în
mod justificat despre anumite clase că ele nu pot constitui un element al
înseşi acestor clase (de exemplu, clasa
preşedinţilor României, care, evident, nu este un
preşedinte, deci nu se poate auto-conţine). Dimpotrivă, în alte
cazuri, pare legitim să putem spune că respectivele clase pot
constitui un element inclus în ele însele (de exemplu, clasa claselor numărabile, care este, la rândul ei, o
clasă).
Astfel,
poate părea corect ca prin funcţiile propoziţionale „x este un
element care se conţine pe el însuşi” şi „x nu este un element
care se conţine pe el însuşi” să fie formate două clase. În
cazul în care ne punem problema dacă clasa determinată prin ultima
funcţie propoziţională menţionată – deci clasa
claselor care nu se conţin pe ele însele ca element – se conţine sau
nu pe sine însăşi, ajungem la o contradicţie. Dacă
presupunem că această clasă se conţine ca element pe sine
însăşi, atunci urmează că ea nu se conţine pe ea
însăşi, deoarece am definit-o ca acea clasă care nu se conţine pe ea
însăşi. Iar dacă presupunem că această clasă nu
se conţine ca element pe ea însăşi, atunci urmează că
ea este un element din sine
însăşi, deoarece, în acest caz, satisface funcţia
propoziţională „x nu este un element care se conţine pe el
însuşi”.
Paradoxul
claselor – cu timpul a fost numit paradoxul
lui Russell – poate părea o chestiune de rafinament tehnic. Trebuie
să luăm în considerare însă două contexte care ne vor
permite să înţelegem de ce, pentru Russell, această antinomie nu
poate fi evitată. Dacă suntem de părere, împreună cu
Russell, că matematica – considerată încă din Antichitate drept
paradigmă a cunoaşterii clare şi univoce – poate fi
întemeiată în mod apodictic doar prin demonstrarea fundamentelor ei
logice, atunci prezenţa unor astfel de antinomii în demersul de întemeiere
devine problematică.
Teoria tipurilor
Russell
califică situaţia nefastă a paradoxului claselor şi a altor
antinomii similare drept o formă inacceptabilă de
autoreferinţă sau reflexivitate. Este vorba de formarea unor
structuri de ansamblu care nu pot fi acceptate. Astfel, Russell încearcă
să se detaşeze de aşa-numitul principiu al cercului vicios : această formă
inacceptabilă a autoreferinţei apare atunci când este avansat un
enunţ general despre toate cazurile unui anumit gen, fapt care conduce la
apariţia unui nou caz, care este
şi nu este de acelaşi gen
cu sus-numitele cazuri.
Sau, cu
cuvintele lui Russell, „Ceea ce presupune o colecţie luată în
totalitatea ei nu trebuie să fie un membru al colecţiei.”[ix]
Cu ajutorul acestui principiu, Russell consideră că paradoxele
logico-matematice pot fi evitate. Iată cum aplică Russell acest
principiu în logica matematică. O clasă este un obiect care
derivă dintr-o funcţie propoziţională Φx şi
presupune funcţia: x sunt toţi aceia care verifică Φx.
Dacă notăm clasa tuturor acelora care verifică Φx cu
simbolul x(Φx) – adică clasa determinată de funcţia
propoziţională Φx - simbolul Φ[x(Φx)] trebuie privit
fără sens – meaningless,
după principiul cercului vicios. Simplu spus: argumentul unei funcţii
propoziţionale Φx nu poate fi chiar funcţia sau clasa
determinată de funcţie.
Russell
descoperă paradoxul claselor în timp ce pregătea lucrarea ce va
apărea în 1903 sub numele de The
Principles of Mathematics. Într-un apendice la această lucrare el va
oferi soluţia acestui tip de paradoxe prin celebra sa teorie a tipurilor. Deşi avansează această teorie
pentru a soluţiona contradicţiile ivite în teoria mulţimilor
şi în logica matematică, Russell consideră că ea nu
serveşte numai acestui scop: „ea corespunde, de asemenea, într-o mare
măsură simţului comun, ceea ce o face credibilă în sine”[x].
În forma sa
cea mai simplă, teoria tipurilor se sprijină pe principiul conform
căruia o funcţie propoziţională presupune totalitatea
posibilelor sale argumente, ceea ce echivalează cu a spune că sensul
său nu este specificat până nu se specifică acea categorie de
obiecte care o pot satisface. Rezultă că în această categorie de
obiecte nu putem include ceva care să fie definit în termenii
funcţiei înseşi. În lumina acestei constatări, soluţia lui
Russell la paradoxul claselor este următoarea: a spune despre clasa
tuturor claselor care se autoconţin că este sau nu un membru al ei
însăşi (se autoconţine) nu este nici adevărat, nici fals,
ci lipsit de sens[xi].
Ceea ce
obţinem este un sistem în care funcţiile propoziţionale, şi
prin urmare popoziţiile, sunt aranjate într-o anumită ierarhie.
Aceasta va fi o ierarhie de tipuri. Vom avea astfel tipul cel mai de jos –
indivizii; proprietăţile indivizilor vor fi obiecte logice de tipul
al doilea; proprietăţile proprietăţilor indivizilor vor fi
obiecte logice de tipul al treilea, ş.a.m.d. Tradusă în termeni de
funcţii propoziţionale, ierarhia se dezvoltă în felul
următor: pe primul nivel avem funcţii care au drept argument
indivizii; pe următorul nivel vom avea funcţii care au drept argument
funcţiile de ordinul întâi, pe nivelul al treilea vom avea funcţii ce
au drept argument funcţiile de ordinul doi, ş.a.m.d.[xii]
Obiectele
care satisfac funcţiile la un anumit nivel constituie un anumit tip,
şi principiul ce ghidează construcţia constă în aceea
că ceea ce poate fi asertat, pozitiv sau negativ, despre obiectele unui
tip, nu poate fi asertat cu sens despre obiectele unul tip diferit. Formularea
noastră este dată într-un limbaj realist, dar este uşor de
observat că principiul poate fi enunţat sub forma unei reguli privind
combinaţiile de simboluri ce pot fi considerate cu sens.
Existând o
ordine a propoziţiilor, corespunzătoare celei a funcţiilor
propoziţionale, în care vom avea: enunţuri, enunţuri despre
enunţuri, enunţuri despre enunţurile despre enunţuri,
ş.a.m.d., rezultă printre altele, că nu putem atribui cu sens
orice proprietate propoziţiilor în general, ci doar cel mult unor
propoziţii de un tip sau altul, şi astfel, paradoxele pot fi evitate.
Virtuţi şi limite ale simbolismului din Principia Mathematica
Semnificaţia filosofică a
întregului efort logisist este că s-a demonstrat că adevărurile
matematice sunt independente de gândirea umană, de caracteristicile
structurale ale modului nostru de gândire.
Adevărurile
matematice au fost demonstrate ca fiind necesare şi obiective pentru
că depind numai de anumite reguli logice fundamentale care sunt valabile
independent de spirit sau de lumea empirică. Noul limbaj logic este: formal, pentru că regulile care îi
conduc termenii sunt cunoscute cu exactitate; puternic, prin faptul că, spre deosebire de logica
tradiţională, aristotelică, este capabil de a exprima o
diversitate extrem de bogată de înţelesuri. Astfel, logica
aristotelică, ce opera cu relaţii între clase, devine doar un mic
fragment al noii logici, care poate opera cu ansamble de propoziţii
şi cu structuri interne de propoziţii.
Russell a
văzut în noul simbolism logic o cale de a aborda probleme filosofice mai
vechi. El era convins că noua logică pune la dispoziţie o limbă ideală sau perfectă.
Părerea sa era că limbajul obişnuit s-a dezvoltat pentru anumite
scopuri, ceea ce arată că el este nepotrivit pentru exprimarea
conceptelor şi problemelor filosofice. În lucrarea The Analysis of Mind, Russell afirmă că dacă
limbajul ar fi fost inventat de oameni
de ştiinţă cu scopuri ce ţin de filosofie şi
logică, atunci ar fi rezultat exact simbolismul elaborat de el. Precizia,
claritatea şi lipsa de ambiguitate posibile în cadrul noii logici
promiteau găsirea unei căi de a reformula problemele filosofice
astfel încât soluţia lor să devină evidentă, sau chiar
să facă să dispară, ca pseudoproblemă, problema
iniţială, dacă aceasta se dovedea a nu fi autentică.
Trăsăturile acestui sistem sunt sintetizate
astfel de către Anton Dumitriu[xiii]:
„1. Sistemul logico-matematic
din Principia mathematica este primul
sistem logic complet şi explicit axiomatizat.
2. El este primul sistem
logic (aproape, s.n.) complet formalizat, doarece nu ţine seamă decât
de semne şi de regulile cu ajutorul cărora se construiesc formule din
aceste semne.”
Această din urmă trăsătură
este de maximă importanţă, deoarece ridică o problemă
esenţială: până unde se întinde puterea unui simbol de a primi o
semnificaţie? Vom vedea, în continuare, că aceasta va fi una dintre
limitele esenţiale nu numai a logicismului, dar şi a formalismului.
Întreaga logică simbolică este creată pentru a asigura
deducţiei rigoare matematică; problema care apare este cum putem avea
certitudinea că un joc de
simboluri poate reprezenta un proces deductiv, şi până unde se
întinde această posibilitate?
Folosul
simbolismului logic este indiscutabil. Bertrand Russell subliniază acest
lucru în Prefaţa la Principia
Mathematica: „Adoptarea regulilor în procesul deductiv ajută
intuiţia în regiuni foarte abstracte (...) Şi astfel mintea este
condusă să construiască şiruri de raţionamente în care
imaginaţia ar fi cu totul incapabilă să se susţină
singură fără ajutor simbolic.”[xiv]
Utilizarea simbolului nu este
numai avantajoasă, dar de la un anumit grad de complexitate a gândirii,
apare ca o necesitate: cu ajutorul unui simbol se pot concentra şi efectua
operaţii complexe mintale care, fiind bine cunoscute, nu mai au nevoie
să fie detaliate, ci numai simbolizate, rezultatul apărând automat.
Matematica utilizează astfel de notaţii simbolice, care acoperă
largi procese mintale, în mod frecvent. De exemplu, un simbol de integrare a
unei funcţii:
f(x)d(x),
Concentrează
în el o sumă de raţionamente extrem de delicate care nu mai sunt
repetate, ci sunt doar „reprezentate” prin simbol. Simbolul
desfăşoară apoi o serie de operaţii automate, care conduc
la un rezultat univoc.
Totuşi „acest sistem urmează să fie
perfecţionat. El este, pe de o parte, un sistem perfectibil ca orice sistem
ştiinţific, iar pe de altă parte a pornit cu câteva
dificultăţi iniţiale”[xv].
Este vorba despre faptul că Russell nu a reuşit să formalizeze
anumite reguli din sistemul său, cum ar fi regula substituţiei, pe
care acesta nu o enunţă în mod formal, ci în limbajul obişnuit
intuitiv. El însuşi o recunoaşte: „Acest principiu se sustrage
expunerii formale şi indică un anumit eşec al formalismului în
general.”[xvi]
Acesta este un indiciu clar că Russell nu a reuşit să
„izgonească complet intuiţia din sistemul său şi totul
să fie numai semn şi regulă a semnelor”[xvii].
În plus, un alt neajuns al sistemului lui Russell este însuşi caracterul
celebrei sale teorii a tipurilor. Contradicţiilor pe care le aducea cu
sine matematica transfinită, Russell le va oferi ca soluţie această
teorie. Rămâne însă de văzut în ce măsură principiul
teoriei tipurilor este unul logic, sau este, mai degrabă, o convenţie
adoptată pe parcursul demersului de fundamentare logică a
matematicii. Se doreşte teoria tipurilor a fi prescriptivă pentru matematica transfinită, sau doar un
procedeu de evitare, şi nu de soluţionare a paradoxelor?
Am
văzut cum teoria mulţimilor permite alcătuirea de
propoziţii despre toate elementele claselor finite şi infinite ale
unui număr cardinal oarecare, de exemplu despre clasa tuturor numerelor
naturale, clasa mai mare a tuturor subclaselor acestei clase, clasa şi mai
mare a tuturor subclaselor clasei menţionate anterior, ş.a.m.d. Dar,
presupunând că există clasa tuturor numerelor cardinale, atunci
această presupunere, care nu este interzisă de teoria lui Cantor,
este incompatibilă cu teoria sa conform căreia nu există un
număr cardinal maxim. Teoria tipurilor a lui Russell pare să rezolve
această antinomie, interzicând formarea unei clase a tuturor numerelor
cardinale.
O obiecţie
fundamentală pe care o aduce Stephen Körner în lucrarea Introducere în filosofia matematicii
este aceea că principiul ce interzice formarea acestui tip de
totalităţi nu este unul logic, ci are doar valoare de remediu ad-hoc:
„Principiile pe baza cărora în formalismele logiciste, în particular în Principia Mathematica, sunt evitate
antinomia celui mai mare cardinal împreună cu antinomia claselor tuturor
claselor care nu se conţin pe ele însele ca element, precum şi alte
antinomii sunt din nefericire principii care nu sunt logice – oricare ar fi
sensul acceptat al cuvântului – nici în mod evident, nici prin
demonstraţie. Ele au, şi există un consens general în
această privinţă, caracter de remedii ad-hoc. Cei care le propun nu pretind că au diagnosticat sursa
bolii pentru care ei prescriu aceste remedii, ci pur şi simplu
exprimă speranţa că în felul acesta contradicţiile vor fi
evitate.”[xviii]
Dacă
este legitim să aplicăm, numai provizoriu, astfel de remedii, atunci
la fel de pertinente pot apărea şi alte atitudini filosofice, cum ar
fi, de exemplu, cea a formaliştilor care sunt de părere că este
util să înlocuim conceptul care produce confuzie, printr-un altul,
„sănătos”, care să servească aceluiaşi scop. Este ceea
ce au încercat Hilbert şi şcoala sa.
Este matematica simplă
utilizare de semne în calcule?
Formalismul
Deschidem
astfel discuţia despre o altă linie de gândire, cu o altă
rădăcină istorică. Dacă în Leibniz şi-au
găsit logiciştii principiile conducătoare, Kant ajunge să
anticipeze principiile coordonatoare ale celorlalte două mişcări
moderne din filosofia matematicii: formalismul şi intuiţionismul. Ne
vom ocupa în cele ce urmează de prima dintre aceste două
mişcări.
Dacă
Frege şi Russell au respins împreună concepţia psihologistă
kantiană, Hilbert o va accepta pe aceasta, în măsura în care îşi
propune să arate că „...ceea ce există ca supoziţie în
formarea inferenţelor logice şi în efectuarea operaţiilor logice
este deja dat în reprezentare (Vorstellung):
adică anumite obiecte concrete extralogice, care sunt prezente intuitiv ca
experienţă nemijlocită şi care constituie substratul
întregii gândiri.”[xix]
Ceea ce
doreşte Hilbert este să arate că dacă matematica se
mărgineşte la descrierea obiectelor concrete de un anumit fel şi
a relaţiilor logice dintre aceste descrieri, atunci nu pot apărea
contradicţii în interiorul ei. Conceptul de infinitate actuală al lui
Cantor, nedescriind nici un obiect concret, nu poate genera antinomii în
matematica aceasta. Însă acest lucru nu înseamnă că Hilbert ar
abandona matematica transfinită a lui Cantor, aşa cum o vor face
intuiţioniştii, ci mai degrabă, el va încerca o împăcare a
matematicii concrete, cu teoria abstractă
şi transfinită a lui Cantor. El va distinge noţiunile
concrete ale matematicii finite de cele ideale ale matematicii transfinite,
adăugându-le pe acestea din urmă primelor, într-un sistem a
cărui necontradicţie îşi propune să o demonstreze. În
expunerea lui Hilbert, matematica clasică are ca nucleu un conţinut
perceptibil, la care se adugă obiecte fictive, imperceptibile, în
particular, diferite totalităţi infinite. A demonstra coerenţa internă a unui
sistem de propoziţii echivalează cu a arăta că acest sistem
nu conţine două propoziţii dintre care una să fie
negaţia celeilalte. În cazul sistemelor foarte simple este uşor
să se alcătuiască o listă a tuturor propoziţiilor
sistemului, şi să se verifice lista din punct de vedere al
coerenţei. În cazul sistemelor mai complexe, este nevoie ca sistemul
să fie delimitat cu precizie şi să fie în întregime controlabil.
Hilbert
considera că obiectele unui domeniu ştiinţific pot fi ordonate
într-un sistem de concepte, astfel încât fiecărui obiect din domeniul
respectiv să-i corespundă un concept al sistemului, iar fiecărui
fapt din cadrul domeniului o relaţie logică între concepte. Sistemul
de concepte astfel imaginat va fi teoria respectivului domeniu
ştiinţific. Dacă dorim să dovedim că o anumită
teorie este necontradictorie, adică în cadrul ei nu apar paradoxe, este de
ajuns să imaginăm un model al acestei teorii. Teoria pentru care se
construieşte modelul este consistentă, dacă sistemul construit
de noi este consistent: „În cadrul disciplinelor fizice este suficient să
reducem problema noncontradicţiei acestora la necontradicţia aritmeticii,
necontradicţia acesteia la necontradicţia teoriei mulţimilor,
iar pe aceasta la necontradicţia unui sistem logic de tip axiomatic.”[xx]
În acest
fel, formalismul hilbertian pătrunde pe tărâmul logicii; Hilbert va
utiliza moştenirea celor pe care îi critică: el nu a avut nevoie
să elaboreze un simbolism nou pentru a-şi susţine
întreprinderea, dispunând de simbolismul din Principia Mathematica a lui
Russell şi Whitehead. El nu a făcut altceva decât să adapteze
simbolismul acestora la scopurile sale.
„Hilbert
şi-a dat seama de la început că nu poate reconstrui bazele
matematicilor fără logică şi că, pe de altă
parte, nici logica nu poate fi constituită fără să implice
noţiuni matematice, cum este, de pildă, noţiunea de număr
întreg. De aceea Hilbert se decide să construiască deodată
şi paralel logica şi matematica.”[xxi]
Spre deosebire de logicişti, Hilbert nu considera
că matematica s-ar reduce la logică, ci că cele două
discipline trebuie reconstruite împreună. În articolul din 1904 intitulat Uber die Grundlagen der Logik und Mathematik
(Despre fundamentele logicii şi matematicii), Hilbert propune pentru
prima dată un program de eliminare a paradoxurilor descoperite în
matematică prin axiomatizarea logicii, aritmeticii, analizei şi
teoriei mulţimilor. Din acest articol transpare încrederea sa în metoda
axiomatică, pe care o considera, conform W. Kneale şi M. Kneale [xxii]
un instrument adecvat spiritului uman şi indispensabil în orice cercetare
exactă în orice domeniu.
În
dorinţa sa de a demonstra consistenţa unui sistem ca acela al matematicii,
Hilbert va ajunge la concluzia că acest lucru se poate realiza numai
dacă se va raţiona nu în interiorul sistemului, aşa cum se
încercase până atunci, ci din afara sistemului in cauză, adică
raţionându-se despre sistem,
deci la un nivel mai înalt, despre formulele în care este exprimat sistemul:
„Matematicianul de la Gottingen a luat astfel limbajul matematic separat, l-a
desfăcut în elementele sale pentru a ridica edificiul logicii noi. Autorul
acestei logici i-a dat la început numele de meta-matematică...”[xxiii]
Logica sa va
studia astfel raţionamentul în el însuşi; forma finală a acestei
logici noi va fi expusă în lucrarea Grundzuge
der theoretischen Logik. Ea va consta într-un sistem de simboluri, care,
date fiind anumite relaţii iniţiale între aceste simboluri, va
ţese o reţea susceptibilă de a fi dezvoltată necontenit.
Această logică va fi strict formală, deoarece din datele
primitive nu se consideră decât capacitatea lor de a fi ordonate într-un
fel sau altul. Formalizarea unei teorii, din punctul de vedere al lui Hilbert,
nu echivalează cu izgonirea intuiţiei în cadrul preocupărilor
sale. Dimpotrivă: „Introducând formalizarea nudă, Hilbert rupe
legătura cu operaţia propriu zisă, naturală, a invenţiei
unei teorii. Dar numai în drept, şi nu în fapt. Pe deasupra tuturor
intuiţiilor concrete, logica lucrează cu o anume intuiţie, în
care semnele – simboluri – pot fi combinate, după libertatea lor, într-un
anume chip. E o intuiţie fără imagini, care lucrează într-o
lume abstractă, unde entităţile care o populează sunt
simple litere...”[xxiv]
Semnul, prin
configuraţia sa, are două caractere: el este, pe de o parte,
depozitarul unei reguli formale; pe de altă parte, fiind lipsit de
conţinut, are o mobilitate completă în domeniul sensibilului, orice
conţinut intuitiv putându-i-se substitui. Este ceea ce au remarcat Russell
şi Whitehead, în efortul lor de constituire a simbolismului logic din Principia Mathematica. Tot ceea ce s-a
înfăptuit în logică, după apariţia monumentalei lor opere,
se leagă de rezultatele pe care aceştia le-au obţinut. Este
şi cazul lui Hilbert: simbolismul utilizat de el nu diferă decât ca
scriere, având însă avantajul de a fi mai compact. Cu ajutorul
simbolurilor logice - independente de semnificaţie – şi al formulelor
ce exprimă relaţiile dintre acestea, se poate opera mecanic, automat,
logica devenind astfel un fel de algebră universală, în care se poate
exprima orice teorie. Hilbert va perfecţiona din punct de vedere formal
sistemul lui Russell, încercând, la rândul său, să refacă logic
şi să fundamenteze matematica, arătând cum, cu ajutorul noii
sale logici, paradoxurile pot fi înlăturate.
Aşa cum
am menţionat anterior, metoda lui Hilbert de a fundamenta matematica,
consta în a construi o teorie a acestei, un sistem a cărui necontradicţie
urma să o demonstreze. Dacă acest scop ar fi îndeplinit, atunci s-ar
rezolva contradicţiile atât de chinuitoare apărute în interiorul
matematicii. O teorie matematică constă într-un corp de axiome –
propoziţii primitive – la care se adaugă propoziţiile derivate
din acestea prin reguli de deducţie.
Hilbert va
formaliza aritmetica, demonstrând necontradicţia acesteia. În Grundlagen, el va formaliza complet
geometria elementară, arătând şi cazul acestei ramuri a
matematicii necontradicţia sistemului axiomatic pe care l-a creat. El va
demonstra că orice element al geometriei euclidiene se poate înlocui cu
elemente aritmetice şi că toate relaţiile stabilite de axiome se
traduc prin relaţii aritmetice exacte între elementele aritmetice
corespunzătoare. În acest fel, dacă geometria euclidiană nu ar
fi necontradictorie, contradicţia ar trebui să se manifeste printr-o
contradicţie aritmetică. Dar cum demonstrase deja că aritmetica
este necontradictorie, compatibilitatea axiomelor geometriei este astfel
asigurată, şi cu aceasta necontradicţia întregii geometrii.
Construind
un model formal pentru raţionamentul matematic, Hilbert nu a vrut să
imagineze un simplu joc de simboluri private de orice conţinut – aşa
cum i s-a reproşat de către Brouwer; simbolurile, nefiind definite,
acceptă mai multe conţinuturi intuitive: „Cu alte cuvinte, o teorie
formală este auaceptibilă de mai multe interpretări, tocmai
fiindcă este independentă de orice interpretare”[xxv];
dacă este să vorbim despre un joc al formulelor, atunci acesta cântăreşte deosebit de greu,
întrucât este de o maximă importanţă filosofică, fiind
condus după anumite reguli determinate ce exprimă tehnica modului
nostru de a gândi. Aceste reguli formează un sistem închis, în opinia lui
Hilbert, ce poate fi descoperit şi stabilit în formă definitivă.
Intenţia
fundamentală a lui Hilbert este[xxvi]
aceea de a descrie activitatea noastră de înţelegere, de a crea un
protocol al regulilor după care gândirea noastră actuală
funcţionează. Gândirea se desfăşoară în paralel cu
activitatea vorbirii. Noi formăm propoziţii pe care le
înlănţuim într-o ordine succesivă. În cuvintele lui Hilbert,
dacă vreo totalitate de observaţii şi fenomene merită
să devină obiectul unei investigaţii riguroase şi profunde,
atunci investigaţia condusă de el este cea potrivită. Aceasta
sugerează că regulile acestui joc nu sunt altele decât legile
fundamentale ale gândirii umane. Esenţa formalismului lui Hilbert
constă în această credinţă că mare parte din gândirea
matematică are, în fond, un caracter formal-algebric sau sintactic. Scopul
formalismului este acela de a identifica formele fundamentale ale gândirii
umane. Aceste forme fundamentale, ce pot fi imaginate drept teorii-formă
reprezintă de fapt patternuri după care funcţionează
gândirea umană şi care pot fi umplute cu o diversitate foarte
bogată de conţinuturi.
Problema
care poate apărea, şi reproşul ce i-a fost adus pe drept lui
Hilbert, este că nu orice propoziţie poate fi exprimată în acest
limbaj pur formal. Nu ne garantează nimeni că în cadrul procesului
matematic nu vom întâlni, la un moment dat, fraze care nu vor putea fi
exprimate în limbajul simbolic, şi care nu vor putea fi justificate numai
pe baza formulelor şi regulilor unui sistem formal: „Programul ingenios al
lui Hilbert (...) a fost să obiectiveze adevărurile matematicii
clasice, astfel încât trăsăturile perceptuale ale obiectelor, sau ale
proceselor prin care ele sunt produse, să corespundă
trăsăturilor logice ale propoziţiilor matematice.
Formulele-teoreme sunt, ca să zicem aşa, corpurile, iar
adevărurile fără corp sunt suflete – fiecare suflet având cel
puţin un corp. Acest program (...) nu poate fi realizat. Gödel a
demonstrat că orice concretizare a matematicii clasice într-un formalism
trebuie să fie incompletă; există totdeauna adevăruri
matematice care nu sunt concretizate în formule-teoreme.”[xxvii]
Într-adevăr,
Gödel va fi cel care va arăta, în 1931, limitele sistemului formal al lui
Hilbert. În primul rând, el va demonstra că teoriile matematice nu pot fi
formalizate complet, şi în al doilea rând, că nu se poate demostra
consistenţa unui astfel de sistem în cadrul sistemului însuşi, nici
chiar dacă sistemul este unul elementar, cum este cazul aritmeticii sau al
geometriei. Este vorba despre cele două celebre teoreme de incompletitudine
ale lui Gödel: el a arătat că pentru orice sistem formal T, dacă
T este consistent, atunci există o propoziţie G a sistemului, astfel
încât nici G şi nici contradictoria ei nu pot fi teoreme ale sistemului
(prima teoremă de incompletitudine); în al doilea rând, Gödel va
arăta că dacă formulăm în sistemul T un enunţ, de
tipul ConT, despre care există motive să se
susţină că exprimă consistenţa sistemului T, acesta nu
poate fi demonstrat în sistemul T dacă T este consistent (a doua
teoremă de incompletitudine). În particular, dacă aritmetica lui
Peano este consistentă, atunci însăşi consistenţa ei nu
poate fi stabilită cu metodele sistemului. Acelaşi lucru se
întâmplă şi cu analiza clasică, teoria mulţimilor, şi
orice alt sistem formal suficient de bogat. Dacă teoria este
consistentă, atunci consistenţa sa nu se poate demonstra în cadrul
sistemului însuşi.
Deşi
efortul lui Hilbert nu a avut efectul pe care acesta şi l-a dorit, acela
de a îndepărta o dată pentru totdeauna problemele ce apar în fundarea
matematicilor, el a stabilit teoria demonstraţiei ca domeniu valoros în
cercetarea matematică. Provocarea lui Cantor nu primit o rezolvare prin
formalismul lui Hilbert, aşa cum nu primise nici prin logicismul lui
Russell şi Whitehead.
Este matematica reductibilă la
construcţii ale intuiţiei temporale?
Intuiţionismul
O altă
soluţie propusă pentru eliminarea paradoxelor logico-matematice este
teza intuiţionistă. După L. E. J. Brouwer, conducătorul
modern al curentului intuiţionist, este necesar a se face o distincţie
categorică între două activităţi diferite: pe de o parte,
construcţia matematică, pe de altă parte, activitatea
lingvistică, aceasta din urmă constând în totalitatea
propoziţiilor despre rezultatele construcţiei, precum şi tot ce
înseamnă aplicare a principiilor logice de raţionament în aceste
propoziţii. Deosebirea dintre aceste două activităţi este
una fundamentală, iar ignorarea ei este la fel de periculoasă atât
pentru limbajul filosofic, cât şi pentru cel matematic. Brouwer se
întreabă dacă reprezentarea logico-lingvistică este întotdeauna
adecvată construcţiei matematice: nu cumva reprezentarea
depăşeşte limitele construcţiei? Aici identifică
filosoful olandez marea problemă de până la el în filosofia
matematicii, şi eroarea fundamentală a celor două curente:
logicismul şi formalismul. Ea constă în faptul că atât
logiciştii cât şi formaliştii aplică legea terţului
exclus în raţionamentele despre sisteme infinite de obiecte matematice,
permiţând astfel limbajului să depăşească şi
să denatureze realitatea matematică.
Din punctul
său de vedere, paradoxurile logice infirmă principiul terţului
exclus, ele oferind propoziţii care nu pot fi declarate nici
adevărate, nici false: principiul terţului exclus se poate aplica cu
sens doar mulţimilor finite de elemente. El va formula, în
consecinţă, următorul principiu: orice propoziţie care are
un conţinut trebuie să indice una sau mai multe stări de lucruri
bine determinate şi accesibile experienţei noastre. Consecinţa
acestui principiu este că: „în domeniul colecţiilor infinite nu mai
are nici un sens, după Brouwer, să spunem că un element a aparţine unui ansamblu E, fără să putem indica
acel element; cum putem spune atunci că o colecţie are o infinitate
de elemente, dacă nu putem – fiindcă în domeniul infinitului nu putem
opera această intuiţie în mod total – să arătăm
fiecare membru al colecţiei?” [xxviii]
El
acuză pe cei ce au încercat să dea o soluţie paradoxurilor din
matematică de faptul că au operat o extrapolare ilicită a
principiului terţului exclus, adecvat doar mulţimilor finite, la
mulţimile infinite de elemente. Consecinţa acestei extrapolări
este deosebit de gravă pentru matematică, deoarece, în opinia lui
Brouwer, principiul terţului exclus trebuie să fie respins ca
instrument de descoperire a noilor adevăruri matematice. El consideră
că limitarea matematicii la metodele finite ale matematicii formaliste ar
fi o gravă lovitură pentru structura acesteia. Matematica, aşa
cum era practicată în epoca sa, consta din două părţi
separate: o matematică autonomă, şi o matematică a
cărei certitudine depindea de limbaj şi logică. Pentru
matematica autonomă, existenţa exactă, certitudinea
absolută şi necontradicţia erau universal recunoscute,
independent de limbaj şi fără demonstraţie. Exista
însă şi o matematică neautonomă, ce consta în teoria
continuului numerelor reale. Aceasta depindea de logică şi de limbaj.
În acest
punct îşi afirmă Brouwer originalitatea, preluând anumite idei de la
Kant: „Matematica, după Kant şi Brouwer, presupune o intuiţie
care diferă pe de o parte şi de percepţia senzorială, fiind
o formă invariantă a acesteia, pe de altă parte diferă
şi de aperceperea conexiunilor logice dintre concepte sau propoziţii.
După cum experienţa, să zicem, a ascensiunii unui munte nu
trebuie confundată cu descrierea şi comunicarea ei lingvistică pentru alţii, tot
astfel experienţa intuiţiilor şi construcţiilor matematice
nu trebuie confundată cu descrierea şi comunicarea sa lingvistică.”[xxix]
Matematica
este, după Brouwer, în esenţă, independentă atât de limbaj cât
şi de logică, iar dacă limbajul în care este exprimată
construcţia matematică este contradictoriu sau nu, acest lucru este
lipsit de importanţă pentru matematică.
Considerând
matematica a fi independentă de logică, Brower va respinge
fundamentarea ei prin teoria mulţimilor, în care au apărut
paradoxele. Dacă există paradoxe, ele nu au nici o legătură
cu matematica. Explicaţia apariţiei acestora o găseşte
Brouwer în această confuzie dintre activitatea matematică şi
limbajul matematic. Practicând corect activitatea matematică, nu putem
ajunge la paradoxuri ce s-ar cere a fi rezolvate prin mijloace
extra-matematice. O interpretare corectă a matematicii presupune, în
opinia lui Brouwer, o teorie anticantoriană, iar o interpretare corectă
a logicii presupune o teorie antilogicistă şi antiformalistă.
Brouwer
încearcă să reconstruiască matematica pe alte baze decât cele
logico-matematice. Esenţială în acest demers este celebra sa teorie a
intuiţiei, o teorie destul de complicată, ce „conţine elemente
de tip aristotelic, kantian, dar şi de tip berkeleyan şi chiar
hegelian”.[xxx]
Ceea ce este interesant de subliniat, pentru discuţia noastră, este
faptul că, în cadrul matematicii, aşa cum este ea concepută de
către Brouwer, nu sunt admise decât entităţi matematice, şi
operaţii cu astfel de entităţi, care pot fi construite intuitiv,
fie direct, fie indirect. Ceea ce nu poate fi construit pe cale intuitivă,
devine în concepţia lui Brower, lipsit de sens. Exemplul cel mai important
de astfel de entităţi lipsite de sens îl constituie
infinităţile actuale ale lui Cantor, respectiv numerele transfinite.
Aşa cum
am subliniat, în expunerea paradoxului lui Cantor, puterea sau cardinalul unei
mulţimi, este un număr prin care se poate răspunde la
înttrebarea câte elemente are acea mulţime. Am văzut că
mulţimea numerelor naturale, fiind o mulţime infinită, dar
numărabilă, are cardinalul numit de noi a, pe care l-am desemnat ca fiind infinit. Aceste este singurul
cardinal infinit pe care îl acceptă Brouwer. În cazul celui de al doilea
tip de mulţimi pus anterior în discuţie, acela al mulţimilor
infinite nenumărabile, opinia lui Brouwer este tranşantă: nu se
poate admite existenţa unor astfel de mulţimi, după cum nu se
poate admite existenţa acelei mulţimi care a generat dificultatea majoră
a teoriei mulţimilor; este vorba despre mulţimea tuturor
mulţimilor infinite nenumărabile. Cantor arătase, prin procedeul
diagonal, cum o mulţime infinită nenumărabilă putea fi
obţinută: luând un interval oarecare din mulţimea numerelor
reale (de exemplu, intervalul deschis de la 0 la 1) şi exprimând zecimal
toate numerele din acest interval, se pot imagina la infinit numere reale
cuprinse în acest interval care să depăşească orice
posibilă corespondenţă 1 la 1 între membrii intervalului şi
o mulţime numărabilă finită. Acestor mulţimi Cantor le
atribuise cardinale mai mici decât puterea continuului, dar mai mari decât a
mulţimii numerelor naturale. Problema existenţei acestor
mulţimi, ca şi a cardinalelor lor (pe care Cantor le numise
transfinite), îi apare ca absurdă lui Brouwer, în măsura în care el
consideră că intervalul deschis de la 1 la 0 al mulţimii
numerelor reale poate fi construit, însă numai dacă îl
considerăm numărabil.
Conceptele
de cardinal transfinit, mulţime a tuturor mulţimilor nenumărabile
infinite nefiind concepte constructive, sunt eronate din punct de vedere
intuiţionist, şi trebuie eliminate din cadrul
preocupărilărilor noastre.
Iată
cum Brouwer rezolvă problema paradoxelor logico-matematice, eliminând, în
fond, obiectul asupra căruia s-a purtat întreaga discuţie. O
consecinţă deosebit de gravă a acestui fapt este că,
neadmiţînd conceptul de mulţime a tuturor mulţimilor, Brouwer nu
admite, ca rezultantă, nici interpretarea numerelor în termeni de clase,
făcând inutil întreg efortul lui Russell, şi dând, prin urmare, o
puternică lovitură logicismului.
Nici
formalismul nu rămâne neatins în urma efortului lui Brouwer: admiţând
ideea conform căreia construcţia intuitivă constituie unica
garanţie a existenţei matematice, intuiţionismul postulează
o teză fundamentală, evident opusă formalismului: „existenţa matematică
(concepută intuitiv) implică
întotdeauna necontradicţie logică, dar necontradicţia
logică nu implică întotdeauna existenţă matematică
efectivă. În mod concret, această teză a determinat
atitudinea permanent negativă a intuiţioniştilor faţă
de încercările formaliste de axiomatizare
a teoriei mulţimilor.” [xxxi]
Din punct de
vedere intuiţionist, aşa cum am văzut, orice teorie
matematică, dacă este construită intuitiv, conform rigorilor lui
Brouwer, este evidentă şi necontradictorie. A se încerca
axiomatizarea ei ulterioară, înseamnă a descrie şi sistematiza
expresiile lingvistice corespunzătoare rezultatelor matematice
obţinute în prealabil. Dar cum formaliştii nu dispuneau în prealabil
de o astfel de teorie construită intuitiv, ci doreau construcţia ei
axiomatic-necontradictorie, nu ar fi făcut, în opinia lui Brouwer, decât
să ajungă, poate, la o teorie necontradictorie, dar să
menţină „în acelaşi timp toate conceptele dubioase care au
generat contradicţiile”[xxxii].
Reproşul
principal pe care îl aduce Brouwer formaliştilor constă în faptul
că aceştia, scindând matematica în partea sa elementară şi
cea transfinită, s-au menţinut la simpla constatare a
contradicţiei dintre finit şi infinit, dar au sfârşit prin a
reduce infinitul la finit, în încercarea lor de a trata, în cadrul metodei
axiomatice, domeniul infinitului cu mijloace finitiste. În replică,
Brouwer va sublinia că gândirea matematică este complet independentă
de limbaj şi de logică, neputându-i-se aplica rigorile logicii, cum
ar fi aceea a legii terţului exclus, ce are valabilitate doar în cazul
sistemelor finite de elemente. Prin urmare, va arăta el, cauza paradoxelor
din matematică o constituie utilizarea fără restricţii a
logicii în matematică.
Contrar
logiciştilor, intuiţioniştii vor ajunge la concluzia că nu
matematica depinde de logica matematică, ci că logica matematică
depinde de matematică. Ceea ce echivalează cu a spune că : „matematicile trebuie să constituie
fundamentele logicii...”[xxxiii]
Încheiere
Comparaţie: logicism,
formalism, intuiţionism
În paginile
anterioare ne-am propus să expunem, în liniile lor esenţiale, cele
trei concepţii mari asupra fundamentelor matematicii, arătând, în
acelaşi timp, principalele obiecţii ce li se pot aduce. Aşa cum
am văzut, disputa dintre ele este una dintre cele mai pasionante din
filosofia modernă, având ca punct de plecare întrebarea dacă
propoziţiile matematicii sunt analitice sau sintetice. Dacă Russell
acceptă necondiţionat opinia lui Leibniz în privinţa
caracterului analitic a priori al propoziţiilor matematice,
intuiţioniştii, în frunte cu Brouwer, îşi însuşesc opinia
lui Kant despre caracterul sintetico apriori al acestora.
Aceste
poziţii radical opuse au condus la două atitudini în raport cu
matematica: în vreme ce Russell îşi propune să construiască
întreaga matematică din concepte pur logice, având ca intenţie de a
demonstra că întreaga matematică este reductibilă la
logică, fiind subordonată acesteia, intuiţioniştii vor,
după expresia lui P. Botezatu[xxxiv]
să restaureze demnitatea matematicii, aruncând logica într-o poziţie
deplorabilă: „Din demnitatea de ştiinţă princeps, pe care o deţinea în
logicism, logica este coborâtă la nivelul unei aplicaţii a matematicii. Dacă logicismul ne invită
să dizolvăm matematica în logică, intuiţionismul ne propune
să înecăm logica în matematică.”
Desigur,
aşa cum am remarcat în expunerea noastră, idealul de a exprima logic,
într-un simbolism riguros, întregul aparat al matematicii a eşuat în
măsura în care în procesul de construcţie deductivă a
matematicii intervin în mod inevitabil axiome care nu sunt de natură
logică, sau reguli care nu pot fi integral formalizate, cum am văzut
că este cazul regulii substituţiei, în sistemul din Principia Mathematica. Însă
utilitatea simbolismului creat de Russell, împreună cu Whitehead nu poate
fi contestată, ceea ce face întreprinderea logicistă o
reuşită doar pe jumătate. Depinde de noi să o
considerăm dacă o reuşită incompletă se constituie
într-un insucces.
Ceea ce
rămâne clar este că, acceptând criteriul evidenţei interioare,
aşa cum o fac intuiţioniştii, privăm matematica de
caracterul ei de ştiinţă riguroasă: „îndoieli grave vin
să submineze poziţia intuiţionistă. Ideea unei
intuiţii a priori a timpului pluteşte în deplină obscuritate
metafizică, iar criteriul evidenţei interioare nu poate salva
noţiunea de demonstraţie riguroasă.”[xxxv]
Ca
răspuns la poziţia intuiţionistă, ne permitem să
observăm, împreună cu P. Botezatu, că : „departe de a funda
logica, matematica presupune logica”[xxxvi].
Aici ne vine
în ajutor poziţia formalistă, în măsura în care Hilbert a fost
conştient de faptul că bazele matematicii nu pot fi construite
fără logică, însă nici logica nu poate fi construită
fără să implice matematica. Dacă poziţia
formalistă ajunge şi ea să fie supusă eşecului,
aceasta se întâmplă pentru că pretenţia sa era exagerată: a
substitui logicii (numită de Hilbert meta-matematică) întreaga
matematică, constituită într-un sistem formal complet, înseamnă
să ignorăm complet conţinutul axiomelor şi teoremelor pe
care le folosim, tratându-le ca fiind lipsite de orice semnificaţie.
Acesta este punctul esenţial în care se despart cele două curente,
logicismul şi formalismul: „logicismul obiectează formalismului
că simbolurile logico-matematice, departe de a fi lipsite de sens, au o
semnificaţie bine determinată.”[xxxvii]
În
acelaşi timp, remarcăm că în acest punct logicismul se apropie
oarecum de opinia intuiţionistă, mai mult ca formă, şi mai
puţin ca fond, în sensul că deşi atribuie o semnificaţie
simbolului, consideră că justificarea logică a matematicii nu
cere construcţia intuitivă a entităţilor matematice.
Ceea ce
rămâne valoros şi datorăm formalismului este însă metoda
axiomatică. Blamată de intuiţionişti, considerată de
aceştia improprie fundamentării autonome a matematicii, „metoda
axiomatică, esenţial născută din lucrările lui
Hilbert, s-a dovedit de o importanţă excepţională, şi
matematica îi datoreşte extrem de mult...”[xxxviii]
Ceea ce i se
reproşează formalismului, însă, este tocmai ceea ce are în comun
cu logicismul, sau moştenirea pe care şi-a asumat-o de la acesta; i
s-a obiectat faptul că, însuşindu-şi simbolismul gata făcut
de Russell, şi-a insuşit şi celebra sa teorie a tipurilor. Or,
teoria tipurilor, stabilind o ierarhie între concepte, după cum
reprezintă indivizi, proprietăţi ale indivizilor, ş.a.m.d,
are un o clară implicaţie ontologică, făcând să
intervină conţinutul conceptelor, şi părăsind terenul
formalismului pur. Iată cum, după expresia lui A. Dumitriu,
„acceptând teoria simplă a tipurilor, Hilbert a anulat programul integral
al formalizării complete a logicii şi matematicilor.”[xxxix]
Scopul
întreprinderii noastre a fost acela de a reliefa câteva din aspectele
esenţiale ale disputei moderne între logicism, formalism şi intuiţionism.
Soluţiile oferite de aceste direcţii problemei atât de chinuitoare
asupra fundamentelor matematicii poate că nu au fost încununate în
totalitate de succes, însă ele trebuie apreciate în primul rând prin
scopul lor şi prin metodele pe care le-au propus, conducând la un real
progres în logica matematică.
Dacă
este să dăm totuşi un răspuns la întrebarea referitoare la
prioritatea unei dintre cele două discipline, logica şi matematica,
relevantă şi demnă de reprodus aici ni se pare poziţia
ilustrului logician român Petre Botezatu: „Deşi datorită procesului
rapid de matematizare a ştiinţelor, matematica şi-a extins
considerabil domeniul, ea rămâne totuşi o ştiinţă
particulară. Ca orice ştiinţă specială, matematica este dublată de o
metamatematică, de teoria structurii teoriilor matematice, iar aceasta
aparţine logicii. (...) La orice nivel de abstracţiune, teoria
trimite la metateorie, iar aceasta este logica. Oricât de abstractă ar fi
matematica, logica este şi mai abstractă, deoarece ea
reflectează critic asupra matematicii. Dacă matematica aspiră la
demnitatea de ştiinţă a structurilor, atunci logica ocupă
imediat poziţia superioară de teorie despre structura teoriei care
studiază structurile. Astfel logica
se află totdeauna cu un pas înaintea matematicii.”[xl].
Bibliografie:
1. Ayer, A. J., Russell and Moore: The Analytical Heritage,
London, George Allen & Unwin, 1972;
2. Botezatu, Petre, Semiotică şi negaţie,
Editura Junimea, Iaşi, 1973;
3. Copi, Irving M., The Theory of Logical Types, London, Routledge
& Kegan Paul, 1971;
4. Dumitriu,
Anton, Istoria logicii, Editura
didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1975;
5. Dumitriu, Anton, Logica lui D. Hilbert, Revista
fundaţiilor regale, Bucureşti, 1941;
6. Dumitriu, Anton, Mecanismul logic la matematicilor, Ed.
Academiei RSR, Bucureşti, 1968;
7. Dumitriu, Anton, Soluţia paradoxelor logico-matematice,
Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1966;
8. Enescu, Gheorghe, Paradoxuri, sofisme, aporii, Ed.
Tehnică, Bucureşti, 2003;
9. Frege, Gottlob, Scrieri logico-filosofice, Editura
Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1977;
10. Hollinger, A., Dialoguri matematice, Editura Ion
Creangă, Bucureşti, 1982;
11. Kneale, W., Kneale, M, Dezvoltarea logicii, vol II, Ed. Dacia, Cluj-Napoca,
1975;
12. Körner, Stephen, The Philosophy of Mathematics, London,
Hutchinson University Library, 1960;
13. Körner, Stephen, Introducere
în filosofia matematicii, Editura Ştiinţifică,
Bucureşti, 1965;
14. Russell, Bertrand, A Critical Exposition of the Philosophy of
Leibniz,
15. Russell, Bertrand, La sagezza dell’ Occidente, vol. 2,
Longanesi & Co., Milano, 1978;
16. Russell, Bertrand, The Principles of Mathematics,
17. Russell, Bertrand, A.N.
Whitehead, Principia Mathematica,
Prefaţa, Cambridge, 1910-1913;
18. Russell, Bertrand, Logic and Knowledge: essays 1901-1950, ed. by Robert Charles Marsh,
George Allen & Unwin,
19. Schilpp, Paul Arthur, The
Philosophy of Bertrand Russell, Tudor Publishing Company, 1951;
20. Shanker, Stuart G. (ed.),
Philosophy of Science, Logic and
Mathematics in the Twentieth Century, Routledge, London, 2004;
21. Surdu, Alexandru, Elemente de logică
intuiţionistă, Ed. Academiei RSR, Bucureşti, 1976;
22. Ţurlea, Marin, Filosofia şi fundamentele matematicii,
Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1982.
NOTE